「數學教你不犯錯」一套兩冊,重點不在於教導數學怎麼計算,而在討論數學應該如何使用才有意義,雖然兩冊的開篇內容簡單卻感覺閒聊的部分佔了很大的比例,甚至可能看了有些不耐煩,但後面的章節精采內容居多喔!而且還會回顧前篇,首尾呼應串聯講解得更清楚。整體來說是本好書,我覺得很有收獲,值得推薦給大家閱讀。

以下為我的心得感想筆記。

「數字會變負時,免談百分比!」是個值得注意的概念,因為這樣的統計經常造成嚴重的誤導,我舉一個簡單的例子:一籃蘋果原本有10個,狗狗吃了2個, 姊姊則補上1個。我清點時發現一共9個,顯然有1個被吃掉了,問狗狗得知有2個是他吃掉的,所以計算狗狗吃掉的部份佔了其中的…200%?多奇怪啊!

一次實驗成功可能是靠運氣,尚不足以證明, 必須在虛無假設下計算成功事件自然發生的機率, 如果實驗結果偏離自然發生率,才是實驗有效的依據。 若兩個人勢均力敵,比一球贏一球的機率為2分之1 , 不足以宣告誰強誰弱。 比3球贏3球的機率為8分之1... 還是頗有可能發生。 約定成俗以機率20分之1 作為分界,也就是5%

當我們的評價機制只有統計顯著性的研究結果能發布論文,自然造就了以量取勝的漏網之魚發表一面之詞,彷彿沒有反對數據似的公諸於世,更不要說...科學家必須為了發表論文而喬數據了。 因此,科學的「再現性」非常重要, 只可惜這是一件吃力不討好的工作,若成功再現也稱不上突破,不成功再現又該怎麼辦?所以往往被忽略。我們應該要有勇氣公開並且鼓勵「失敗」的真實報告,它們也是對研究很有貢獻的重要成員。 我覺得,在人的世界中,唯有群眾改變價值觀,這個世界才能夠真正的改變。 好消息是,目前已經有在努力推廣了!

統計顯著性的意義,不在於告訴我們什麼是真理?只是怎麼決策行動? 就如同法庭的目的不在於判決等於真理,而是在於公平。 顯著性檢定只是提供線索,指引研究方向。

「不是恐怖份子,卻被列入懷疑名單」與「被列入懷疑名單,卻不是恐怖分子」 兩機率聽起來覺得相似,其實並不相同!甚至可以天差地別! 輔助想清楚的好方法,是畫個A/A'、B/B' 方格圖分析! 同理,當無辜的人與現場DNA檢測樣本批配的機率只有500萬分之1 ,不代表有嫌疑的被告是無辜的機會很小!

貝式推論與虛無假設的檢定方式不同,當我們實驗前已藉助自身的知識、經驗與信念猜想各種可能的機率時,貝式推論可以推算各種實驗結果會如何讓事前機率影響事後機率, 這一點符合人類直觀的感受, 可以解釋如果實驗丟5次硬幣都是正面,雖然和「正反正反反」在虛無假設下機率相同,但實際上前者卻會令人傾向提高相信硬幣偏向正面的機率。你願意相信一件事情的程度,並不純然取決於實驗結果,也取決於你一開始的相信程度!

過度追求完美主義,從經濟層面來看會有個問題:當事情過於趨近於完美, 邊際效益就會降低,要想更完美一點、 再降低失誤率,所需要的代價相當高,所以效用(utility)會降低。人的理性決策有追求效用最大化的傾向。經濟學的觀念聽起來很驚悚,但仔細觀察社會的運作方式的確是如此:做事完全不出包,表示花在出消滅出包的資源耗費太多了!政府要查核浪費公帑的失誤,也需要消耗經費,有時反而不划算!所以在經濟學上,問題會變成是:該浪費多少公帑才正確?同理,買東西總是能買到最低價,表示花在比價的時間花太多了!經濟學的思考會是:該買貴多少錢才划算?

即使是看似簡單公平的票選制度,其實運作起來漏洞百出,最後只能宣告當選者在公平公開的規則下勝出而已,並不能說他比每一位落選者都受到群眾支持。數學家嘗試設計較複雜的票選方式,但仍沒有完全理想的投票方式,可以確保在當選者比每一位落選者都受到群眾支持的公設下避開邏輯矛盾, A>B 且 B>C 且 C>A 理論上不會發生,但是實際民意有可能產生喜歡 A 勝過 B 且喜歡 B 勝過 C 同時又喜歡 C 勝過 A 的循環。最後,選舉只好屈就於形式主義。

書末給我的思考機率的感想:一個人投入努力追求的過程與方法, 應該與成果同樣有價值!因為成功仰賴了努力追求與環境運氣, 若是以機率的語言來說,成功的機率或高或低都介於0到1之間,努力追求提高了成功的機會,雖然不能保證本次的成功,但可以預期在未來多次重覆之下,可產生較多成功的結果;反觀一時的成功,其實也不能保證未來的成功,事實上多次重覆之後,常有向平均迴歸的特性。

以上為數位筆記,以下是手寫筆記。

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